大家好，近很多小伙伴在关注三角形的重心怎么求，以下是(www.liyan0123)小编整理的与三角形的重心怎么求相关的内容分享给大家，一起来看看吧。

本文目录一览：

• 1、三角形的重心怎么求
• 2、三角形重心公式

三角形的重心怎么求

三角形重心是三角形三边中线的交点。

根据重心的性质，三边中线必交于一点。

所以作三角形任意两边的中线，其交点就是此三角形的重心。

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

证明一

三角形ABC，E、F是AB，AC的中点。EC、FB交于G。

证明：过E作EH平行BF。

∵AE=BE且EH//BF

∴AH=HF=1/2AF（中位线定理）

又∵ AF=CF

∴HF=1/2CF

∴EG=1/2CG（⊿CFG∽⊿CHE）

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

证明二

证明方法：

在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA1、BOB1、COC1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知，OA1=1/3AA1，OB1=1/3BB1，OC1=1/3CC1过O，A分别作a边上高H1，H可知OH1=1/3AH 则，S(△BOC)=1/2× 1a=1/2×1/3 a=1/3S(△ABC)；同理可证S(△AOC)=1/3S(△ABC)，S(△AOB)=1/3S(△ABC) 所以，S(△BOC)=S(△AOC)=S(△AOB)

3、重心到三角形3个顶点距离平方的和小。 (等边三角形）

证明方法：

设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x，y） 则该点到三顶点距离平方和为： (x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2

=3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2

=3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2

显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时

上式取得小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2

终得出结论。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，

即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；

空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标：（z1+z2+z3）/3

5、三角形内到三边距离之积大的点。

6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量） ，则M点为△ABC的重心，反之也成立。

7、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）

8、相同高三角形面积比为底的比，相同底三角形面积比为高的比。

证明方法：

∵D为BC中点，

∴BD=CD,

又∵ △ABD= △ACD， △BOD= △COD，

∴S△ABD=S△ACD，S△BOD=S△COD，

即S△AOF+S△BOF+S△BOD=S△AOE+S△COE+S△COD,S△BOD=S△COD,

∴S△AOF+S△BOF=S△AOE+S△COE.

同理，

∵E为AC中点，

∴S△AOF+S△BOF=S△BOD+S△COD.

∴S△AOE+S△COE=S△BOD+S△COD.

又∵S△BOF/S△BOD+S△COD=OF/OC,S△AOF/S△AOE+S△COE,

即S△BOF=S△AOF。

∴BF=AF，

∴CF为AB边上的中线，

即三角形的三条中线相交于一点。

三角形重心公式

1.三角形的重心是三角形三条中线的交点.

2.三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点距离的2北.

3.在直角坐标系内,若三顶点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),则三角形的重心G的坐标为((x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3).

4.三角形的重心是到三角形三顶点距离的平方和小的点.

5.三角形的重心是三角形内到三边距离之积大的点.

6.如果你是高中学生,在向量这一部分里面关于重心的性质还有很多.

以上就是三角形的重心怎么求的相关介绍，希望能对大家有所帮助。

获赞：186 | 收藏：20 | 发布时间：2024-05-10 07:09:15